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在一个特定大小的网格上（最多）放手些许个点，使得莫得三个点在归拢直线上？这简直是一个未管制的问题。但与一些看似通俗实则宝贵的问题不同（比如Collatz猜念念），这个问题上已获得了一些推崇。望望这些推崇，也许还不错长远了解如何处理数学中的敞开问题。一谈探索吧！
源流，从一个正方形网格运行，有n行n列。对于给定大小的网格，不错在网格线的交叉点放手些许个点，以确保莫得三个点不错用直线一语气？
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这个“三点不同线（No three-in-line problem）”的问题源流由Henry Dudeney在1900年冷漠，那时是对于一个8x8的棋盘上的棋子。
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管制这类数学问题的一个有用智商是先不雅察n较小的情况。不错从小的网格运行，你会顾惜到，当n增大时，问题逐步变得宝贵。n为1和2的正方形不错统统填满，但从3运行，就需要一些妙技。当n=4时，运行有多种不同的智商不错达到最大值，
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而在n=5时，必须运行琢磨“象步”对角线：
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对于n=5，这里有一个可能的解：
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贝博捕鱼上界
当n较小时，可能遭遇的第一个遏制是不知谈什么手艺停驻来。咱们如何知谈照旧放手了通盘得当的点？如若能有一个上界就好了：即使不信托能达到阿谁数字，但确信弗成朝上阿谁数字。
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是手艺用一般的数学规则来求解问题了。当n较小时，能放手的最多的点的数目是网格的宽度乘以二。
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事实解说，咱们不错用称为鸽笼旨趣（pigeonhole principle）的规则来解说咱们耐久不会作念得更好。
皇冠娱乐网址足球鸽笼旨趣说，如若有n个对象被放入k个空间中，那么至少存在一个空间，其中有n/k或更多的对象。
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假定有5个鸽笼放16只鸽子。如若试图使每个鸽笼中有3只或更少的鸽子，那么只可容纳最多15只鸽子，是以有16只鸽子时，至少有一个鸽笼中必须有4只或更多的鸽子。
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如若只存眷正方形网格的行，并忽略列和对角线，那么不错把点四肢鸽子，行四肢鸽笼。每一转本人即是一条线，笔据规则，每行最多只可有2个点，这意味着在一个n x n的网格上，最多只可放2n个点。
是以咱们找到了一个上界，但咱们当今还不知谈当n取纵情值时，是否总能达到这个上界。实质上，我能找到的最大网格是n=52，在上头最多放2n（104）个点，使得莫得三个点在归拢直线上。
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下界
不错使用越来越高大的盘算机搜索越来越大的网格，但在数学中，咱们更心爱一般的情况。那么，对于n止境大时应该怎样办？比如n=1000或者更大呢？咱们照旧有一个上界。也许咱们不错找到一个下界。
文件中出现的第一个下界来自极其多产的数学家保罗·埃尔德什（Paul Erdős）。
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埃尔德什发现，对于任何质数 p，总能在 p x p 的网格上放手至少 p 个点。埃尔德什解说这少许的形式揭示了另一个有用的管制问题的妙技：用数学的另一个分支重写问题。埃尔德什将这个几何问题革新为一个数字问题。咱们当今来看解说：
源流在方格上放手 x 和 y 坐标，举例从0到 p-1的整数。埃尔德什说咱们不错在每一列中选拔一个点，以确保这些点中的任何三个皆不在一条直线上。智商是：为了找到 y 值，取 x 值，然后求它的平日，并求除以 p 之后的尾数。
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是以咱们找到的点是沿着函数 y=x^2 mod p 的点。
咱们怎样知谈这种智商老是有用的呢？在网格内取 y=x^2 mod p 上的纵情三个不同点。咱们称这些点的 x 坐标为 i、j 和 k，按递加规矩，是以这些点的好意思满坐标分袂是(i, i^2 mod p)、(j, j^2 mod p)和(k, k^2 mod p)。
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第少许和第二点之间的线的斜率即是：
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同理，第少许和第三点之间的斜率是：
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如若这三个点在归拢条直线上，这些斜率必须相称：
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如若不错从这些分数中消去 j-i 和 k-i 就太好了，但咱们要提神，某些数字mod下除法可能会有奇怪的事情发生。比如：
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消去（4-1）后的谜底是5，但实质谜底是0。但在某个数字m下的除法在某些特殊情况下如实不错消去。
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迥殊地，如若被除数、除数和商皆条目为整数，且b与m除了1除外莫得大家因子，也即是，b和m是“互质”的。
在咱们的网格中，因为p本人即是质数，是以p与通盘不是p的倍数的整数互质。由于 j-i 和 k-i 小于 p，它们弗成是p的倍数，而由于 j+i 和 k+i 是整数，这意味着咱们不错省心肠进行这些消去操作。 最终得到 j=k。但咱们源流假定 i、j 和 k 皆是不同的！是以，得到了一个矛盾，意味着这一组中莫得三个不同的点位于归拢条线上。是以，埃尔德什的智商对一个质数大小的网格老是有用的。
对于质数n找到这个成果更有匡助：咱们知谈至少不错在 nxn 网格中放入至少与小于n的最大质数相似多的点，其中莫得三点共线。是以对于1000x 1000的网格，最多放入的点的数目至少是997。并且，正如 Joseph Bertrand 所冷漠的，Pafnuty Chebyshev 所解说的，对于 n>1，老是存在一个介于n和2n之间的质数。是以，咱们至少老是不错在nxn网格中放入至少 n/2个点，莫得三个点共线。
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更好的下界
模数运算使得 Richard R Hall 和他的合著者在1974年进一步提升了下界。咱们将从视觉上看这些成果，但咱们不会统统解说它们。他们的论文比埃尔德什的解说难以观念，但如若你念念了解，论文题目是“Some advances in the no-three-in-line problem”。
皇冠客服飞机：@seo3687作家源流解说，不管n是否是素数，任何n x n网格上皆不错放手至少 n 个不共线的三点。
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使用贝尔特兰和切比雪夫的定理在 n/2和n之间中式一个素数p。方程 xy mod p = -1给出了一组 S 中的 p-1个不在一线的点，这些点位于 p x p 的网格中，并且莫得两个点分享归拢转。
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咱们不错通过将直线的方程 y=mx+b 代入方程来解说这少许。这产生了一个二次方程，
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其最多有两个解，对应于 S 中的线上最多两个点，这些点在 mod p 下不等价。此阵势荫藏了好多模运算律例，但 Hall 和他的一又友们解说了通盘的细节。然后咱们不错取 S 的两个副本，
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再加上一个颠倒的（(p-1, p+1），然后将那些 2p-1 个点的前 n 个放手在 n x n 网格上。其次，他们解说，对于任何素数 p，一个 2p x 2p 的网格不错容纳 3p-3 个点，或稍少于1.5n。
取这组S中的 p-1个点，将其分为四个四分之一网格，
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并将这些四分之一网格分袂复制3次，围绕 2p x 2p 的网格成列。
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元气备用王冠这个大聚合 T 包含了 S 中每个点的三个副本，这些点在 mod p 下是等价的。按照之前的逻辑，T 中的三个点只好在至少两个点在 mod p 劣等价的情况下才气在一条线上。这只可发生在一条水平的、垂直的或者斜率为±1的线上。
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水讲理垂直线弗成包含3个点，因为它们只经过S的2个副本，而对角线也弗成，因为它们经过的第三个点会在T的中心“赋闲”中。
是以，咱们照旧得到了梗概1.5n 的下界和 2n 的上界。
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然而，咱们还不信托在阿谁鸿沟内不错找到任何特定的大 n 的最好解。还有临了一个管制问题的妙技——猜念念（conjecture），来自 Richard Guy 和 Patrick Kelley 在1968年，由 Gabor Ellmann 在2004年修正。
这个猜念念使用了统计参数。源流，咱们需要盘算在 n x n 网格中3个立时点是共线的概率。Guy 和 Kelley 用组合数来作念这个（也就詈骂常高档的计数），如若你念念看通盘的细节，你应该查抄他们的论文（The No-Three-In-Line Problem）
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决窍是盘算通盘可能斜率的通盘直线上的通盘点。
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得到的大致概率是
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一朝有了这个概率，就不错盘算，对于任何给定的常数 k 在1.5到2之间，一个 n x n 网格中立时中式的 kn 个点莫得3个点共线的概率是些许。成果梗概是
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然后，乘以 kn 点的总组合数，
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来看梗概有些许莫得三点共线的组合。这个等式是由一个 n^n 项主宰的，或者更具体地说是
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这实质上是 Ellmann 的修正场地：Guy 和 Kelley 空幻地使用了 +2而不是 +k。当指数中的总计为负时，这个项变为零：换句话说，如若 k 太大，那么，咱们预测基于立时性，可能莫得任何三点共线的点集。这并不料味着弗成有一个，仅仅统计上不太可能。一些代数揭示了当 k 朝上 π 除以3的平日根时，这个总计为负。
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是以，这个忖度是这是一个甘休。对于一个 n x n 的网格，你不太可能大致放手比 n 乘以 π 除以3的平日根多的点而莫得其中的三点共线。
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论断
今年欧洲杯已经成为全球关注焦点。据悉，最近发生一件惊人事情：法国队对阵英格兰队中，法国队明星球员XXX突然跳出场外，似乎有些情绪失控。据知情人透露，XXX私人问题心情不好，导致情绪失控，希望能够理解支持。咱们从一个对于国外象棋棋盘的赞佩赞佩的小谜题运行，一直到东谈主类学问的角落——数学家只作念了有笔据的猜猜。但愿你能看到，为什么在追求谜底的流程中，每一步皆是合理的。像这么的敞开数学问题随地可见，只须你长远挖掘，就会发现宝马会炸金花，正如旧的问题得到了谜底，新的问题也被冷漠。是以，快点出去探索吧！
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